Quỹ tích là gì?

Quỹ tích là gì? Quỹ tích được hiểu là một tập hợp các điểm trong không gian. Thoả mãn một tính chất, thuộc tính nào đó của chúng.

Các loại quỹ tích cơ bản ( trong mặt phẳng ):

Xem thêm: Phun xăng điện tử là gì?

Tập hợp các điểm gồm hai điểm A, B và tất cả những điểm nằm giữa A và B là đoạn thẳng AB.

Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.

Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc đó.

Tập hợp các điểm cách đường thẳng d một khoảng bằng l là hai đường thẳng song song với d và cách d một khoảng bằng l.

Tập hợp các điểm cách điểm cố định O một khoảng bằng r là đường tròn tâm O. Bán kính r trong mặt phẳng và là mặt cầu tâm O, bán kính r trong không gian ba chiều.

Tập hợp các điểm M tạo thành với hai đầu mút của đọan thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo bằng α không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (gọi là cung tròn chứa góc α vẽ trên đọan AB).

Đặc biệt: Tập hợp các điểm luôn nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

Tập hợp các điểm nằm sau một đường thẳng là một nửa mặt phẳng bờ là đoạn thẳng đó.

Tập hợp các cặp điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng là mặt phẳng chứa đường thẳng đó.

Tập hợp các điểm trong mặt phẳng có tổng khoẳng cách tới hai điểm cố định cho trước (nằm trong mặt phẳng đó). Là đường elíp nhận hai điểm cố định đó là tiêu điểm. Trong không gian ba chiều là mặt Ellipsoid tròn xoay.

Quỹ tích lớp 9

Xem thêm: Xesi được dùng làm tế bào quang điện

Định nghĩa quỹ tích

Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm MM có một tính chất
(hay tập hợp của những điểm M có tính chất α) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất α
Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm MM thoả mãn tính chất α là một hình (H)  nào đó, ta phải chứng minh hai phần:

Phần thuận: Mọi điểm có tính chất α đều thuộc hình (H) 

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất α

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất α là hình (H) 

Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài toán quỹ tích

Việc giải một bài toán quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên tiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài toán chứng minh hình học, trong phần lớn các bài toán quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta cần phải chứng minh. Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng được suy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và trong một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo, giới hạn v.v…. như thế nào? Dưới đây là những thao tác tư duy chuẩn bị cơ bản nhất.

Quỹ tích số phức elip

Số phức elip được đánh giá là một số phức khó và phức tạp. Vậy số phức elip là gì? Có thể hiểu, số phức E là tập hợp của các số phức trên một hình elip. Tập hợp của các điểm này được gọi là quỹ tích số phức E

Cụ thể, cho số phức z = x + yi thì quỹ tích điểm M biểu diễn các số phức z sẽ là đường elip nếu M(x,y) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường elip (E): x2a2 + y2b2 = 1. Trong đó, a,b tương ứng là các bán trục lớn và nhỏ của elip.

Số phức elip chính tắc và không chính tắc

Trong nội dung về elip, như chúng ta đã biết. Elip sẽ được chia thành phương trình elip chính tắc và elip không chính tắc. Và đối với phần số phức nâng cao này cũng sẽ chia thành quỹ tích elip chính tắc và không chính tắc.

Phương trình Elip chính tắc có dạng: (E): x2a2 + y2b2 = 1

Elip này sẽ có hai tiêu điểm là F1 và F2 với tọa độ lần lượt: F1(−c ; 0) và F2(c ; 0). Khi đó: b2 = a2 – c2 . Vậy với quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z = x +yi thuộc (E) được gọi là số phức E chính tắc.  

Với phương trình đường elip không thỏa mãn điều kiện trên thì sẽ là phương trình elip không chính tắc. Và tương tự, quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z = x +yi thuộc elip trên được gọi là số phức E không chính tắc.  

Ngoài ra, cũng giống với số phức thông thường. Số phức E cũng có số phức đối là –z = -a –bi.